デフォルトで Dovecot は クライアントにおいて、ときどき "IMAP namespace" もしくは "IMAP prefix" と 呼ばれる "personal IMAP namespace prefix" を使いません。 Courier では多分これを "INBOX" と設定し、 UW-IMAP では "mail/" と設定したでしょう。 なので、解決方法は、この設定項目を空にして、 IMAP クライアントを再起動するだけです。 もしこの解決法でうまくいったけれど、クライアントの設定を変更したく ないならば、 Namespace の文書を参照してください。
もしこの解決法でうまくいかなかったならば、 default_mail_env の設定が間違っています。 設定が行われなかった場合、 Dovecot は ~/Maildir, ~/mail, /var/spool/mail/ /var/mail/ ディレクトリを検索して、メールがどこに保存されているか 見つけようとします。 使い方次第では、 Dovecot は推測を外すかもしれません。
もしこの解決法でうまくいかなかったならば、ディレクトリのパーミッションが 正しく設定されているか確認してください。
メールが ~/mbox ファイルに格納されているか確認してください。 もし ~/mbox ファイルにあった場合、 UW-IMAP は /var/mail/user から この場所に移動します。 現在の Dovecot はこの機能をサポートしていないので、 全員分のメールを ~/mails に移動して、 MTA/MDA にメールがそこにあることを設定するか もしくは代わりに、 /var/mail/user にメールを戻すため、 ~/mbox を 使っているユーザを見つけましょう。 この機能はいつか改善されるかもしれませんが、すぐには計画されてません。
その他の方法として、 maildir の正しい場所に mbox ファイルのシンボリック リンクを張る方法があり、メールはそのシンボリックリンクを通過して 読むことができます。
Dovecot はメールボックスの購読リストで異なったファイル名を 使います。 なので、 Dovecot で使用できるようにその名前の変更をする必要があります (現在、 MBOX で ".subscriptions" を、 Maildir では "subscriptions" を dbox では "dovecot.subscriptions" を使用しています)。 詳細は Migration の文書を参照してください。
まだ動作しない場合は、最初に問題が IMAP クライアントにあるのか、 サーバの設定にあるのかチェックしてください。 このチェックの簡単な方法は、直接 IMAP をやりとりしてみることです：
telnet imap.server.org 143 x login username password x list "" * |
もし期待されるメールボックスのリストを見ることができたならば、 問題は IMAP クライアントにあります。